El problema de Monty Hall

El problema de Monty Hall

Ayer de noche Pablo me planteó un problema matemático de probabilidad que yo nunca había oído. Estuvimos un buen rato dándole vueltas, incluso le pedimos un bolígrafo a la camarera del bar donde estábamos para intentar resolverlo en una servilleta, pero no llegamos a una solución demasiado clara. El enunciado del problema es el siguiente. En un programa televisivo, el concursante es requerido para elegir una puerta entre tres (todas cerradas), y su premio consiste en llevarse lo que se encuentra detrás de la puerta elegida. Se sabe cierto que una de ellas oculta un coche, y tras las otras dos hay una cabra. Una vez que el concursante ha elegido una puerta y le comunica al público y al presentador su elección, Monty (el presentador) abre una de las otras puertas y muestra que detrás de ella hay una cabra. En este momento se le da la opción al concursante de cambiar si lo desea de puerta (tiene dos opciones) ¿Debe el concursante mantener su elección original o escoger la otra puerta? ¿Hay alguna diferencia?

A simple vista, parece estar claro que da igual cambiar de puerta o quedarse la actual, ya que aparentemente hay un 50% de probabilidades. Sin embargo Pablo, que tenía una ligera idea de por dónde iban los tiros, utilizó el siguiente planteaminto (pongámonos en el caso de que el concursante siempre elegirá la primera puerta y el presentador siempre elimina la primera cabra sin contar con la del concursante).

  • Posibilidad 1: COCHE CABRA CABRANo cambiar
  • Posibilidad 2: CABRA COCHE CABRACambiar
  • Posibilidad 3: CABRA CABRA COCHE – Cambiar

Según ese razonamiento, si queremos un mayor número de posibilidades de conseguir el coche debemos cambiar la puerta. La pega que encontré a esa visión del problema es que la primera posibilidad es doble, ya que debemos tener en cuenta que las dos cabras son diferentes, por lo que cambiar su orden es otra posibilidad más. Dibujamos en la servilleta todos los casos posibles, esta vez llamándoles CABRA1 y CABRA2. Como yo esperaba, en la mitad de las ocasiones había que cambiar de puerta mientras que en la otra mitad era mejor quedarse con la elegida. Aún así no nos quedó demasiado claro porque creíamos que había casos que no habíamos contemplado y además Pablo estaba seguro de que había leído hace tiempo que las posibilidades no eran las mismas.

Esta mañana, busqué el enunciado del problema en internet y lo encontré en la Wikipedia. Al leer lo que ahí dicen entendí al fin el problema y efectivamente Pablo tenía razón; es mejor cambiar la caja.

Si el jugador escoge en su primera opción la puerta que contiene el coche (con una probabilidad de 1/3), entonces el presentador puede abrir cualquiera de las dos puertas. Además, el jugador pierde el coche si cambia cuando se le ofrece la oportunidad.

Pero, si el jugador escoge una cabra en su primera opción (con una probabilidad de 2/3), el presentador sólo tiene la opción de abrir una puerta, y esta es la única puerta restante que contiene una cabra. En ese caso, la puerta restante tiene que contener el coche, por lo que cambiando lo gana.

En resumen, si mantiene su elección original gana si escogió originalmente el coche (con probabilidad de 1/3), mientras que si cambia, gana si escogió originalmente una de las dos cabras (con probabilidad de 2/3). Por lo tanto, el concursante debe cambiar su elección si quiere maximizar la probabilidad de ganar el coche.


David Paredes

Soy ingeniero informático por la Universidade da Coruña y trabajo en el departamento de e-commerce de Zara. Mis principales intereses son los negocios, la tecnología y el diseño, aunque a menudo también escribo sobre otros temas. Puedes obtener más información en la sección "Sobre mí" de esta página.

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